弾性エネルギー
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弾性エネルギー（だんせいエネルギー、英語: elastic energy）とは、ばねやゴムなどの弾性体の変形に伴うエネルギーである。位置エネルギーの一種である。
目次
1 一次元の線形弾性体
1.1 導出
2 弾性エネルギーの例
3 関連項目
一次元の線形弾性体
フックの法則に従うバネ係数 k のバネの伸びが x であるときの弾性エネルギーは
- U=k2x2{displaystyle U={frac {k}{2}}x^{2}}
で与えられる。
導出
一端が壁に固定されたフックの法則に従うバネ係数 k のバネに接続された物体を考える。バネの伸びが x のとき、バネが物体に及ぼす力は F = −kx である。
バネの伸びが Δx だけ変化するとき、バネに接続された物体は Δx だけ移動する。
バネの伸びの変化が充分に小さい場合には、バネが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、バネが物体に行う仕事は
- W=FΔx=−kxΔx{displaystyle W=F,Delta x=-kx,Delta x}
である。
一方、バネが物体に仕事を行うとき、バネから物体にエネルギーが移動する。バネの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、バネが行う仕事の分だけバネが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを U、その変化量を ΔU とすれば
- W=−ΔU{displaystyle W=-Delta U}
である。
これら二つの式から
- ΔU=kxΔx{displaystyle Delta U=kx,Delta x}
が得られる。バネの伸びが無限小の極限 Δx → 0 で、微分係数が
- dUdx=kx{displaystyle {frac {dU}{dx}}=kx}
となる。これを積分すれば
- U=k2x2+U0{displaystyle U={frac {k}{2}}x^{2}+U_{0}}
が導かれる。ここで U0 は積分定数であり、これは伸びが x = 0、すなわちバネが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は U0 = 0 と定める。
弾性エネルギーの例
弾性エネルギーは例として伸びている「ゴム」や「ばね」などのことを言う。
関連項目
- 弾性
- 仕事
- 力学的エネルギー
